| вычислительная теория категорий |
[16 Jan 2012|06:29pm] |
Что уважаемое сообщество может порекомендовать из литературы по вычислительной теории категорий? Замечательную книгу Rydeheard, Burstall "Computational Category Theory" усвоил, однако её можно считать скорей введением и обзором возможностей ML в смысле реализации категориальных определений, чем существенной почвой для работы. Собственно, два сколько-нибудь существенных приложения в ней - алгоритм унификации и описание семантики, служат как proof of concept потенциальных расчётных задач: они неэффективны и могут быть лучше реализованы без привлечения высокоуровневых категориальных абстракций.
Какие интересные задачи решают, опираясь на (существенно) конструктивную природу категорий? Возможно, что-то из теории топосов? Заранее спасибо за любые предложения!
|
|
| Математический журнал "Теория Категорий" |
[17 Feb 2011|01:22pm] |
|
Дорогие друзья, все вы, подписчики ТК, являетесь цветом человеческой расы, самыми умными людьми в ЖЖ и вообще математиками. Уверен вам есть что рассказать на ниве своих достижений как в области математики вообще так и в частных областях: абстрактной алгебры, теории вычислений, доказательства теорем, функционального анализа и т.д. Уверен, что распространение знаний и коллективная самоподдержка в области математических исследований не пустые слова для учасников данного сообщества. Я приглашаю редакторов и авторов к сотрудничеству.
|
|
| Автоматы и категории. |
[24 Aug 2010|01:15pm] |
Пусть у нас есть хорошая (как минимум с прямыми произведениями) категория C. Назовем морфизм A*S -> B*S автоматом (для C == Fin получаются конечные автоматы). Эта конструкция напоминает монаду State, но в данном случае мы не фиксируем S.
Из автоматов можно получить две новые категории.
В первой (пуст она называется CA) объектами будут обекты C, а автоматы - морфизмами. Композикия морфизмов A*S1 -> B*S1 и B*S2 -> С*S2 будет в C выражена морфизмом A*(S1*S2) -> C*(S1*S2). Правда эта категория перестает быть малой - Hom(A,B) уже могут не образовывать множество.
Во второй (CF) объекты будут автоматами, а морфизмами - тройки морфизмов A1 -> A2, S1 -> S2 и B1 -> B2, для которых соответственная диаграмма будет коммутативной.
Интересно, есть ли связь между этими категориями?
В этих категориях можно попробовать "упростить" автомат. В CA разделить его на два последовательно выполняющихся, а в CF - рассмотреть факторавтомат, который моделирует работу исходного, забывая некоторые подробности.
То есть для автомата X (A -> B) особенно интересны эпиморфизмы CF из X в композиции морфизмов из CA с одной стороны и мономорфизмы CF из X с другой. Возможно, что у этих конструкций есть что-то объщее. В частности, они похоже описывают параллельно работающий автоматы (соединение A1*S1 -> B1*S1 и A2*S2 -> B2*S2 в (A1*A1)*(S1*S2) -> (B1*B2)*(S1*S2) ).
|
|
| Перевод: Дж. К. Баез, М. Стэй — Физика, топология, логика и теория вычислений: Розеттский камень |
[20 Aug 2010|01:05pm] |
Любителей Функционального программирования, Теории категорий, Квантовой физики, Топологии и Логики, а также научного знания вообще уведомляю о том, что сегодня закончен эпохальный перевод фундаментальной статьи Джона Баеза и Майка Стэя «Физика, топология, логика и теория вычислений: Розеттский камень». Перевод был осуществлён по наводке коллеги ![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif?v=92.1) kurilka. С текстом перевода можно ознакомиться на странице документов Гугл. Из-за того, что текст достаточно объёмный, его пришлось разбить на два документа: Разделы 1 — 3 и Разделы 4 — 5. Также напоминаю, что все последние выполненные мной переводы находятся по известному адресу.
Ну и как обычно призываю любителей и профессионалов в области программирования последовать за мной в деле распространения знаний, переводов прекрасных текстов. Приглашаются все, кто может хоть как-то помочь: переводчики, корректоры, верстальщики (LaTeX). Ну а кто готов помочь рублём, тот может сделать это на странице лучших друзей научно-практического журнала «Практика Функционального Программирования». Тем, кто готов вычитать новый перевод и провести корректорскую работу, я готов предоставить полный доступ к указанным файлам.
|
|
| Вопрос по моноидам. |
[16 Aug 2010|05:31pm] |
Возникли вопросы:
1. Может ли быть в моноиде нулевой элемент (0: 0*m=m*0=0)?
2. Если нулевой элемент есть, то в категории, построенной на этом моноиде, морфизм, соответствующий нулевому элементу, не будет ни мономорфизмом, ни эпиморфизмом?
3. Бывают ли в моноиде нулевые элементы только справа/слева?
UPD
4. Не совсем по моноидам, но верно ли что если у двух стрелок в категории совпадают их начальный и конечный объекты, это совсем не означает что они равны?
|
|
| Чего-то-там-морфизмы |
[26 Jul 2010|12:11am] |
Прочитал определения видов морфизмов.
С изоморфизмом вроде ясно - морфизм является изоморфизмом если у него есть левый и правый "обратный" морфизмы. Вроде интуитивно ясно - позволяет понимать некоторые объекты как изоморфные, своего рода эквивалентность.
А вот с пониманием мономорфизма и эпиморфизма как то не идет понимание. То есть определение я понял, но почему это так определяется и какой в этом смысл? Может есть примеры? Например мономорфизм, не являющийся эпиморфизмом и наоборот? И биморфизм не являющийся изоморфизмом...
UPD: Немного сам себе ответил
|
|
| монады, 2-моноиды и строгие моноидальные категории |
[22 Jul 2010|03:18am] |
прошу прощения за (вероятно) глупые вопросы. насколько я понимаю, одноэлементная 2-категория - это 2-моноид, он же строгая моноидальная категория; монада в некоторой категории, будучи моноидом в категории её эндофункторов, также является 2-моноидом. каковы вообще отношения между этими понятиями? верно ли, что монада в некоторой категории (по определению) обладает структурой строгой моноидальной категории?
опять же, категория эндофункторов для некоторой категории - верно ли, что она обладает структурой как 2-категории, так и строгой моноидальной категории?
в прицнипе, меня достаточно ткнуть носом в соответствующий (учебный) материал, но за развёрнутый ответ буду весьма благодарен
|
|
| Вопрос |
[13 Jul 2010|10:47am] |
|
Какие разделы математики необходимо изучить до того, как взяться за теорию категорий? Какие учебники рекомендуются для начинающих и почему?
|
|
| Motivated by algebraic topology (Edited) |
[23 Feb 2010|05:02pm] |
1. Постников в «Лекциях по алгебраической топологии» пишет, что любую теорему существования можно рассматривать как утверждение о разрешимости в соответствующей категории некоторой задачи продолжения. Это утверждение выглядит странным, хотя бы потому, что неясно, что такое «любая теорема существования». Может кто-нибудь объсянить, что имеется в виду? (Можно ссылкой.)
2. В Википедии написано: If section of a morphism exists, it is called sectionable. Как в таком случае произносят sectionable по-русски?
3. Как по-русски называют Splitting lemma?
4. Что вообще нужно знать про задачи продолжения и поднятия в общекатегорном смысле и где про это написано?
Спасибо.
|
|
| Забывающие функторы |
[17 Jan 2010|08:01pm] |
Дайте пример правого сопряжённого фунтора,
который как можно больше не похож на забывающий?
Update:
Интересуют другие примеры, менее тривиальные, чем
сопряжённый к "лампочке" в моноидальной категории.
|
|
|
[17 Jan 2010|01:30pm] |
1) Бывают ли естественные преобразования между ковариантным и контравариантным функторами? Нарисовать картинку легко, вопрос в том, принято ли это делать.
2) Я не нашёл в литературе примеров естественных преобразований. Примеров естественных изоморфизмов завались, а собственно примеров естественных преобразований не видно. Я понимаю, что изоморфизмы интереснее, но мне неуютно без разноплановых примеров. Ещё, конечно, хотелось бы увидеть пример преобразования, похожего на естественное, но неестественного. Где всё это можно найти? (Под примером я привык понимать детальное описание, а не небрежно брошенную фразу «В качестве примера можно привести сепульки.»)
Спасибо.
|
|
| А вот любопытно. Обобщение топоса? |
[18 Nov 2009|09:57pm] |
Вполне так можно сказать, что
симметричная моноидально-замкнутая категория,
это обобщение декартово-замкнутой.
А как похожим образом обобщаются
конечные пределы (ну и классификатор)?
Что-то и самому придумывается, но ведь,
скорее всего, давно что-то такое уже есть?
|
|
|
[14 Nov 2009|08:37pm] |
Чем хороша теория множеств? Прежде всего тем, что она дает общий язык для всех математиков. Аналитик, алгебраист, геометр, излагая свои результаты, говорят о множествах, элементах, функциях и т.д. Теорию категорий придумали алгебраические топологи для своих целей. Но она переросла алгебраическую топологию, поскольку выяснилось, что теория категорий дает язык, не менее универсальный, чем теоретико-множественный. Все математические результаты можно излагать, говоря об объектах, морфизмах, функторах, декартовых квадратах и т.п. (как бы обрадовался Декарт, увидев декартов квадрат). Этот язык оказался близок к языку так называемой теории типов, которую придумали Расселл и Уайтхед 100 лет назад как альтернативу теории множеств. А в последние лет 40 изучается связь теоретико-категорного языка с языками функционального программирования. В результате, основными "потребителями" терии категорий на западе стали специалисты по computer science.
Доходчивое введение в современную теорию типов
http://www.cs.ru.nl/~herman/PUBS/IntroTT.pdf
Учебник Асперти, Лонго по теории категорий для computer science
ftp://ftp.di.ens.fr/pub/users/longo/CategTypesStructures/book.pdf
Язык теории типов проще и дружелюбнее, но язык теории категорий имеет свои преимущества, одно из главных - возможность рисовать много содержательных картинок (диаграмм). Специалистам по computer science знать теорию категорий совершенно необходимо (хотя бы для того, чтоб читать англоязычную литературу). Математики могут пока обойтись (кроме алгебраических топологов и геометров), но если функциональное программирование станет господствующей парадигмой, язык теории типов учить придется - советую с него и начать,он проще.
|
|
| Профайл комюнити Котегори Теори |
[30 Sep 2009|11:12am] |
Если есть идеи чем наполнить профайл пишите их. Какие именно ссылки, что именно вы хотите что бы было. Пока я заполнил наше общество такими интересами:| 2-категории, agda, caml, coq, cpl, curry, epigram, f#, haskell, join-calculus, ml, objective caml, λ-исчисление, Аводей и Байер, Асперти и Лонго, Барр и Уэлс, Берг, Вармо Вене, Вольфенгаген, Гоген, Гротендик, Джонстон, Кантор, Карри, Категорияльная Абстрактная Машина, Ламбек, МакЛейн, Наброски Слона, Объект Натуральных Чисел, Пирс, Фокинга, Хагино, Хаскель, Цермело и Франкель, аппликативное программирование, геометрия, декартово-замкнутая категория, диалгебры, классификатор, комбинаторная логика, комбинаторы, логика, мета языки, монады, моноид, морфизм, расширения Кана, сопряжения, степень, топосы, умножение, факторизатор, функторы, функциональное программирование, функция |
Какие сслыки, книги, FAQ, что именно. Я слушаю.
|
|
| category_learning |
[29 Sep 2009|07:06pm] |
Большинство постов сюда вполне
подходят именно, как "обучающие"
Соответственно, стоит организовать
такое, как category_learning.
Кто что думает по этому поводу?
Добавление.
Здря я написал, не продумав, звиняйте!
Пока такое делать, конечно, не стоит.
Стот, разве что, тэги аккуратнее проставлять.
Но стирать пост не буду.
|
|
| Теория категорий |
[06 Sep 2009|08:44pm] |
Всё началось со слова монада, а продолжилось вопросом - зачем?
Как ни странно, ответ на вопрос зачем? не приходит от листов текста, испещренного формулами. Обратное неверно, зная ответ на вопрос зачем? можно испещрять формулами многие листы невозбранно, временами даже осмысленно. Про бананы тоже как-то не очень. Хотелось простого описания человечьим языком (Ланцош почитаем мною как недостижимый для 99% излагающих идеал).
В результате чтения первых глав штук 10 книг, замечаний в стиле что категории это язык, пришло следующее понимание:
1. Отображение (морфизм) есть некая элементарная единица смысла.
2. Соотношения, устанавливаемые между морфизмами можно распространить на офигенно широкий круг явлений (теория множеств нервно курит в сторонке).
3. Что-угодно можно рассматривать как морфизм, заведя единичное (само-в-себя) отображение.
4. Нет необходимости понимать, как устроено явление, достаточно понимать, как оно себя ведет (в отличие от той же теории множеств).
Теория множеств легко переписывается в терминах категорий, с одним замечательным следствием - нет необходимости понимать, как и из чего устроено множество - что исключает парадокс Рассела.
Где я неправ?
|
|
| категорная модель логики |
[30 Aug 2009|07:28pm] |
В заголовке под логикой я подразумеваю какую-нибудь конкретную дедуктивную систему, например интуиционистская пропозициональная логика или классическая линейная пропозициональная логика. Интересует как категорная модель строится, а ещё больше, как формулируются корректность и полнота категорной модели. Потому что точная формулировка зависит от модели, к которой прилагательные «корректная» и «полная» применяются. У меня есть несколько статей, но они слишком зубодробительные для меня.
Update. Пример того, о чём я говорю:
Blute, Scott. category theory for linear logicians. chapter 6. full completeness and representation theorems.
Paiva. categorical semantics of linear logic for all.
Abramsky, Jagadeesan. games and full completeness for multiplicative linear logic. chapter 4. full completeness
.
|
|
| navigation |
| [ |
viewing |
| |
most recent entries |
] |
| [ |
go |
| |
earlier |
] |
|
|
|
|
